Sistemi Complessi: tra ordine e chaos

[Chaordic]

Per comprendere il ruolo fondamentale che i sistemi caotici hanno assunto nel modellare il fare scientifico dell'ultimo mezzo secolo occorre brevemente considerare gli assiomi che, dai tempi di Newton, sono alla base della concezione meccanicistica della scienza.

Possiamo sintetizzare tale concezione in sei assunti fondamentali:

• Ogni sistema è concepito come un insieme di componenti elementari;

• Ogni componente è sorgente di azioni su altri componenti elementari del sistema;

• Le azioni esercitate da ogni componente sono indipendenti dalle azioni esercitate dagli altri e dipendono unicamente dalla natura propria del componente;

• Lo scopo del fare scientifico è esclusivamente quello di descrivere i fenomeni naturali attraverso modelli matematici;

• I modelli matematici elaborati devono comprendere delle leggi dinamiche in grado di rendere conto della evoluzione temporale dei fenomeni stessi. Queste leggi devono essere deterministiche cioè, dato un intervallo di tempo dt arbitrariamente piccolo, dalla conoscenza dello stato del sistema al tempo t deve essere possibile prevedere lo stato del sistema al tempo t + dt ;

• Noto lo stato presente del sistema studiato, il modello elaborato deve consentire la previsione dello stato del sistema in qualsiasi istante di tempo, futuro o passato che sia.

Il modello costituito da questo "delirio di onnipotenza" venne storicamente messo in crisi già ai tempi di Newton quando ci si rese conto che, nello studio dei fenomeni celesti (meccanica celeste), aumentando anche di una sola unità il classico problema dei due corpi in interazione ci si trovava nella impossibilità di prevedere la evoluzione dinamica del sistema nel tempo.

l celebre problema dei tre corpi, eludendo il sesto assunto del modello sopra riportato, sembrava dunque mettere seriamente in crisi la concezione meccanicistica del mondo, tuttavia la distinzione introdotta tra due livelli di descrizione dei fenomeni, quello cioè microscopico e quello macroscopico, rese possibile mantenere la concezione meccanicistica della natura. Il livello microscopico, governato dalle leggi della meccanica, venne assunto come fondamentale mentre il livello macroscopico, governato dalle leggi della statistica, venne concepito come il risultato della interazione della moltitudine dei componenti fondamentali dando così vita allo sviluppo della meccanica statistica.

Nonostante questi tentativi non fu possibile trovare una soluzione accettabile fin quando non si decise di rinunciare al sesto postulato della meccanica e con esso alla prevedibilità completa dei fenomeni. Con Henri Poincaré, ed altri matematici, si arrivò così ad elaborare modelli che rendevano possibile un tipo di prevedibilità che possiamo definire asintotica. Il nuovo tipo di prevedibilità, rinunciando allo studio dei fenomeni particolari dei processi evolutivi, spostò l'accento sui diversi destini finali che un sistema poteva raggiungere e rese possibile lo sviluppo di modelli strutturali della evoluzione dei sistemi (Prigogine Y. e Ruelle D.)

Questa nuova impostazione nello studio dei fenomeni naturali, grazie ai lavori di Poincaré e di Ljapunov, trova oggi piena espressione nella Teoria Qualitativa delle Equazioni Differenziali. Tale teoria permette di studiare le caratteristiche degli stati di equilibrio verso i quali possono tendere i sistemi, a prescindere dalle soluzioni particolari delle equazioni differenziali che ne descrivono il comportamento evolutivo.

Possiamo notare ora che la possibilità di passare indifferentemente da una previsione su scala locale della evoluzione di un fenomeno alla previsione su scala globale, relativa cioè a un qualsiasi istante di tempo, presuppone una conservazione della energia o, se si vuole, della informazione. Dobbiamo cioè presupporre che l'informazione necessaria a descrivere in modo completo lo stato momentaneo di un sistema è uguale a quella necessaria a descrivere lo stato del sistema in un qualsiasi altro istante di tempo.

I sistemi dissipativi per i quali risulta pressoché impossibile, partendo dalla sola conoscenza del loro stato di equilibrio finale, conoscere le condizioni di stato iniziali, violano il principio di conservazione dell'informazione. Essi sono dei compressori di informazione.

Per avere una idea di ciò che può accadere in alcuni sistemi osserviamo la semplice equazione differenziale del primo ordine nella forma:

Alla condizione di equilibrio per il sistema si ha che :

Se poniamo che al tempo t=0 la variabile x assuma il valore x₀ , integrando, si ha come soluzione esplicita della equazione differenziale:

dove si può notare che il punto di equilibrio in x=a , raggiunto quando< t tende all'infinito, è indipendente dal valore x₀ dello stato iniziale del sistema. In altre parole, partendo dallo stato di equilibrio finale del sistema, non ci è dato sapere quale era lo stato iniziale.

Come si è accennato a questo grave inconveniente si è trovato rimedio grazie ai lavori di Poincaré e di Ljapunov, con i quali è oggi possibile prevedere alcune importanti caratteristiche "qualitative" dei comportamenti asintotici dei sistemi governati da leggi simili a quella sopra riportata, o più complesse. Tra queste caratteristiche (per una introduzione a questi argomenti si veda: Pessa E.) si possono annoverare :

• Il numero dei punti di equilibrio del sistema;

• Le condizioni di stabilità o di instabilità dei punti di equilibrio;

• L'esistenza di configurazioni di equilibrio dinamico;

• La presenza di attrattori terminali .

Dagli studi di questi grandi della scienza, nonché di altri illustri matematici dell'ultimo secolo, sono nate le basi di nuovi campi di indagine quali lo studio dei processi di autorganizzazione o quello dei processi di morfogenesi.

In relazione al destino della informazione che occorre per descrivere lo stato di organizzazione di un sistema nel corso della sua evoluzione, possiamo riassumere tre classi di sistemi:

La demarcazione dei confini di appartenenza ad una o l'altra di queste classi non è affatto rigida. Esistono sistemi in grado di lasciare emergere comportamenti che, in funzione di determinati valori delle variabili e dei parametri che compaiono nelle equazioni di stato, possono essere più o meno ordinati.

Un esempio, ormai classico, è dato dalla equazione di Feigenbaum :

Come si può osservare nel riquadro riportato sotto questa semplice equazione ricorrente permette, per alcuni valori del parametro l<, di osservare il passaggio a diversi stati di equilibrio dinamico, da quello quasiperiodico, a diversi periodi di oscillazione, fino al comportamento caotico. Il grafico è stato ottenuto facendo variare il parametro l (ascissa) da 2.9 a 4.

E' possibile rapprensentare sistemi dinamici più complessi tramite le equazioni del matematico francese Michel Hénon :

Questo semplice sistema di equazioni è in grado di rappresentare diverse varietà di sistemi conservativi, come asteroidi o pianeti orbitanti. Una rappresentazione grafica del sistema è fornita nel riquadro sotto riportato.

E' possibile associare a questi sistemi, oltre alle equazioni di stato, alcune caratteristiche quantitative invarianti quali la dimensione frattale, o dimensione di complessità del sistema (Grassberger P. e Procaccia I., 1983) , e gli esponenti di Ljapunov i quali ci danno una idea dell'orizzonte temporale entro il quale è possibile considerare la evoluzione del sistema in termini di prevedibilità. Queste caratteristiche permettono peraltro di distinguere diverse forme di comportamenti caotici dei sistemi.

Le immagini grafiche riportate sopra sono state generate con un semplice programma che ho fatto molto tempo fa e che è possibile scaricare cliccando qui [download].
Il programma Chaordic traccia alcuni tra gli attrattori strani più noti.